PARABOLA

Determinar el punto de intersección de una recta dada y una parábola cuyo foco y directriz son dadas.

DATOS:

Sea $y=mx +b$ la recta c que intersecta a la parábola

$P=(x , y)$ el punto de intersección

$F=(0,f)$ el foco de la parábola

$V= (0,\frac{f}{-2})$ el vértice de la parábola.

 Y la condición del problema es

$FP=PQ$

Si la condición que define la parábola es

 $FP=PQ$

Usando el teorema de Pitágoras tenemos lo siguiente

$y^2=x^2+(y-f)^2$

Simplificando tenemos lo siguiente

$y^2=x^2+y^2-2fy+f^2$

Entonces

$x^2-2fy+f^2=0$

Sustituyendo la ecuación de la línea recta $y=mx+b$ en la ecuación anterior :

$x^2-2fy(mx+b)+f^2=0$

Completando el cuadro

$(x-fm)^2=2fb+(fm)^2-f^2$

Simplificando

$X=fm+\sqrt {f[2b+(m^2-1)f}$

Sustituyendo el valor de x en la ecuacion de la recta tenemos lo siguiente

$Y=mfm+\sqrt {f[2b+(m^2-1)f]} + b$

$Y = fm^2 + \sqrt {f[2b+(m^2-1)f]m} + b$