lunes, 17 de enero de 2011

Método De Punto Fijo

Método de punto fijo:


Un punto fijo de una función $ g$, es un número $ p$ tal que $ g(p)=p$. El problema de encontrar las soluciones de una ecuación $ f(x)=0$ y el de encontrar los puntos fijos de una función $ h(x)$ son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontar las soluciones de una ecuación $ f(x)=0$, podemos definir una función $ g$ con un punto fijo $ p$ de muchas formas; por ejemplo, $ f(x)=x - g(x)$. En forma inversa, si la función $ g$ tiene un punto fijo en $ p$, entonces la función definida por $ f(x)=x - g(x)$ posee un cero en $ p$.
El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial $ x_0$ y $ x_{i+1} = g(x_i)$ genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación $ f(x)=0$. A la función $ g$ se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión $ \langle x_n \rangle$ converge siempre y cuando$ \left\vert g^{\prime}(x) \right\vert <1$.

En análisis matemático el teorema del punto fijo de Banach (también llamado teorema de la aplicación
 contractiva) es una de las herramientas más importantes para demostrar la existencia de soluciones de numerosos problemas matemáticos. El teorema garantiza la existencia y unicidad de puntos fijos de ciertas funciones definidas sobre espacios métricos y proporciona un método para encontrarlos. Debe su nombre a Stefan Banach (1892–1945), quien fue el primero en enunciarlo en 1922.





Imágenes de puntos fijos (estables e inestables):
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1 comentario:

  1. Eduardo Cantoral18 de enero de 2011, 20:16

    Te felicito. Ya sabes más de sistemas dinámicos que muchos de tus compañeros en la UAM.

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