Inducción Matemática

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero a tiene la propiedad P.

Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero n tenga la propiedadP implica que n + 1 también la tiene.

Conclusión: Todos los números enteros a partir de a tienen la propiedad P.

NDUCCION MATEMATICA

Sea P(n) una proposición que depende de la variable n, con n perteneciente a los Naturales. Si:

1 satisface a P y,

k pertenece a los Naturales, k satisface P! (k+1) satisface P,

entonces todos los números naturales satisfacen P. Usaremos el Axioma de Inducción Matemática para demostrar la validez, en los Números Naturales, de ciertas proposiciones P que depende de una variable n, con n perteneciente a los Naturales. Procederemos de la siguiente manera:

Verificaremos la proposición para el numero 1.

Supondremos que la proposición es verdadera para un numero natural cualquiera k. (Hipótesis de inducción).

Demostraremos la proposición para el numero natural (k+1).

Así, gracias al axioma de inducción Matemática, podemos concluir que la proposición la satisfacen todos los números naturales. Ejemplo 1: Demostraremos que: 1+2+3+............+n = n(n+1), " n perteneciente a los naturales (*) 2

1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposición (*)

2

Supongamos valida la proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que:

1+2+3+.........+k = k(k+1). (Hipótesis de inducción). 2

Demostremos que k - 1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que:

1+2+3+.........+k+(k+1) = (k+1)(k+2). 2 Demostración: (1+2+3+.......+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1) 2 = k(k+1)+2(k+1) 2 = (k+1)(k+2) 2 Luego la proposición (*) es verdadera "n perteneciente a los naturales. En resumen, primero demuestras reemplazando el n por un 1, luego demuestras reemplazando el n por un k y finalmente lo demuestras reemplazando el n por (k+1) Ejemplo 2: Demuestre usando Inducción Matemática que: n "$ i3 = n2 (n+1)2$ i=1 4 1° Usando n = 1 1 " i3 = 12 (1+1)2 i =1 4 1 " 1 = 1(4) i =1 4 1 " 1 = 4 = 1 i=1 4 2° Supongamos valido para n = k k " i3 = k2 (k+1)2 i=1 4 3° Por demostrar valido para n = k+1 k+1 " i3 = (k+1)2 (k+1)2 se reemplaza termino igual al de arriba i=1 4 = (k+1)2 (k+2)2 esto se debe demostrar 4 k+1 k " i3 = " i3 + (k+1)3 i =1 i =1 = k2 (k+1)2 + (k+1)3 = k2 (k+1)2 + (k+1)3 = (k+1)2 ( k2 + (k+1) 4 4 4 = (k+1)2( k2 +4(k+1) = (k+1)2 (k2 +4k+4)

• 4

= (k+1)2 (k+2)2 4 Ejemplo 3: Demuestre usando inducción que: 2 + 4+ 6 + 8+..........+ 2n = n(n+1) n

• 2 i = n(n+1)

i =1

n=1

1 " 2*1 = 1(1+1) i =1

• = 1*2

• = 2

Suponer valido para n = k

k " 2i = k(k+1) Esto es la hipótesis i =1

Demostrar para n = k+1

K+1 " 2i = (k+1)(k+2) i =1 k+1 k " 2i = " 2i + 2(k+1) i =1 i =1 = k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k+2)