Demostracion

demostrar que
la suma de $\frac{3}{2}(N^2)^\frac{1}{3}>1+\frac{1}{2^\frac{1}{3}}+...+\frac{1}{N^\frac{1}{3}}$
es mayor que
este problema se puede resolver por medio de inducción matemática, por medio de los siguientes pasos:
1.- justificaremos si se cumple para $n=1$
$\frac{3}{2}>1$ por lo tanto se cumple.
 2.-Ahora veremos si se cumple para $n=k+1$
por lo tanto tenemos lo siguiente:
$\frac{2}{3}N^2+(n+1)^\frac{2}{3}>\frac{2}{3}N^\frac{2}{3}+\frac{1}{(N+1)^\frac{1}{3}}$
supongamos que lo anterior es cierto para seguir la demostracion
por lo tanto sumemos a ambos $N^3+N^2$
entonces:
ya simplificado tenemos lo siguiente:
$N^3+N^2+\frac{N}{3}>N^3+N^2$

por lo tanto factorizando y simplificando tenemos lo siguiente:
$(N+^\frac{1}{3})^3>N^3(N+\frac{1}{N})$
extrayendo raíz cubica a ambos miembros tenemos lo siguiente:
$N+\frac{1}{3}>N(1+\frac{1}{N})^\frac{1}{3}$
sumándole a ambos miembros $\frac{2}{3}$ y simplificando tenemos lo siguiente:
$N+1>(N+1)^\frac{1}{3}N^\frac{2}{3}+\frac{2}{3}$
multiplicando a ambos miembros $\frac{3}{2}$
obtenemos la siguiente inecuacion:
$\frac{3}{2}(N+1)>\frac{3}{2}(N+1)^\frac{1}{3}N^\frac{2}{3}+1$
multiplicando nuevamente por $\frac{1}{(N+1)^\frac{1}{3}}$ obtenemos lo siguiente:
$\frac{3}{2}(N+1)^\frac{2}{3}>\frac{3}{2}N^\frac{2}{3}+\frac{1}{(N+1)^\frac{1}{3}}$
lo que se quería demostrar.